luchnivik писал(а): ↑Вс 13 авг 2023, 14:08
Ну мне так кажется, что когда ты математику просто по заученным схемам используешь, то это получается вроде как экстравертное мышление. Когда же ты начинаешь уходить вглубь и изучать свойства разных математических моделей, объектов, аксиоматику строишь какую-нибудь, то это по идее интровертное мышление.
Смотри-ка, случайно попалось сегодня (смотрю стенфордские лекции про математическое мышление):
But during the nineteenth century, as mathematicians tackled problems of ever greater complexity, they began to discover that their intuitions were sometimes inadequate to guide their work. Counter-intuitive (and occasionally paradoxical) results made them realize that some of the methods they had developed to solve important, real-world problems had consequences they could not explain. For example,
one such, the Banach–Tarski Paradox, says you can, in principle, take a sphere and cut it up in such a way that you can reassemble it to form two identical spheres each the same size as the original one.
It became clear, then, that mathematics can lead to realms where the only understanding is through the mathematics itself. (Because the mathematics is correct, the Banach–Tarski result had to be accepted as a fact, even though it defies our imagination.) In order to be confident that we can rely on discoveries made by way of mathematics—but not verifiable by other means—mathematicians turned the methods of mathematics inwards, and used them to examine the subject itself.
This introspection led, in the middle of the nineteenth century, to the adoption of a new and different conception of the mathematics, where the primary focus was no longer on performing a calculation or computing an answer, but formulating and understanding abstract concepts and relationships. This was a shift in emphasis from doing to understanding. Mathematical objects were no longer thought of as given primarily by formulas, but rather as carriers of conceptual properties. Proving something was no longer a matter of transforming terms in accordance with rules, but a process of logical deduction from concepts.
Гуглоперевод:
Но в девятнадцатом веке, по мере того как математики решали задачи все большей сложности, они начали обнаруживать, что их интуиция иногда неадекватна для руководства их работой. Противоречащие интуиции (а иногда и парадоксальные) результаты заставили их осознать, что некоторые из методов, которые они разработали для решения важных проблем реального мира, имели последствия, которые они не могли объяснить. Например,
один из них, парадокс Банаха-Тарского, говорит, что вы можете, в принципе, взять сферу и разрезать ее таким образом, чтобы вы могли снова собрать ее, чтобы сформировать две идентичные сферы, каждая из которых имеет тот же размер, что и исходная.
Стало ясно, что математика может вести к сферам, где единственное понимание лежит через саму математику. (Поскольку математика верна, результат Банаха-Тарского должен был быть принят как факт, даже если он не поддается нашему воображению.) Чтобы быть уверенными, что мы можем полагаться на открытия, сделанные с помощью математики, но не проверяемые другими средства — математики обращали методы математики внутрь себя и использовали их для исследования самого предмета.
Этот самоанализ привел в середине девятнадцатого века к принятию новой и отличной концепции математики, в которой основное внимание уделялось уже не выполнению вычислений или вычислению ответа, а формулированию и пониманию абстрактных понятий и отношений. Это был сдвиг акцента с делания на понимание. Математические объекты больше не воспринимались как заданные прежде всего формулами, а скорее как носители концептуальных свойств. Доказательство чего-либо было уже не вопросом преобразования терминов в соответствии с правилами, а процессом логического вывода из понятий.
